Subtraktion verstehen

Grundlagen

Was heißt es, Subtraktion zu verstehen?

Bereits vor Thematisierung der Subtraktion im Unterricht haben manche Kinder erste Vorstellungen davon, was Subtraktion bedeutet, nämlich dass z. B. etwas weniger wird. Solche Grundvorstellungen – d. h. mentale Bilder zur Subtraktion, die das Minuszeichen mit Inhalt füllen – bilden eine wesentliche Voraussetzung für ein tragfähiges Verständnis der Subtraktion. Diese Vorstellungen der Kinder gilt es daher aufzugreifen und zu verfestigen sowie zunehmend auszudifferenzieren (Selter & Zannetin 2018, S. 45).

Für die Subtraktion werden drei zentrale Grundvorstellungen unterschieden. Das „Abziehen“ als sehr alltagsnahe Vorstellung, das „Ergänzen“ und das „Vergleichen“.

folgende Probleme beim Bild:
das Bild enthält zu viel Text, besser aufteilen in 3 Grafiken und Text darunter tippen.
die Überschriften haben hier eine ganz neue Farbe
das Bild hat einen weißen Bereich unten, dadurch erscheint der Abstand größer

Als zweite wesentliche Komponente bei der Entwicklung eines umfassenden Subtraktionsverständnisses ist die Fähigkeit zum Darstellungswechsel zu nennen. Diese zeigt sich darin, „zwischen […] verschiedenen ‚Sprachen‘ hin- und herübersetzen zu können, also Verbindungen herstellen zu können zwischen konkreten, häufig in Alltagssprache beschriebenen, (Alltags-)Situationen und mathematischen Symbolen und Rechenoperationen“ (Gerster & Schultz 2004, S. 388).

Unterschieden werden vier Darstellungsformen, zwischen denen Kinder immer wieder flexibel hin- und herübersetzen sollten:

Eine dritte wichtige Voraussetzung für ein umfassendes Verständnis der Subtraktion zeigt sich darin, Beziehungen zwischen Aufgaben erkennen, nutzen und beschreiben zu können (Schipper 2009, S. XXX). Auf diese zahlreichen Beziehungen und Strukturen wird genauer im Modul „Sicher im 1–1“ eingegangen.

Warum ist es wichtig, die Subtraktion zu verstehen?

Es ist nicht ausreichend, wenn Subtraktionsaufgaben nur automatisiert wiedergegeben werden können, denn Ziel des Mathematikunterrichts in der Grundschule ist es, Kinder dazu zu befähigen, flexibel und sicher zu rechnen. 

Denn es sind differenzierte und umfassende Vorstellungen notwendig, um in verschiedenen Kontexten Aufgaben als Subtraktionsaufgaben zu deuten oder um Subtraktionsaufgaben voneinander abzuleiten, indem sie in Beziehung gesetzt werden (Götze, Selter & Zannetin 2019, S. 43).

Grundlegend sind diese Vorstellungen auch für das Subtrahieren mit größeren Zahlen, Brüchen oder Dezimalzahlen. So ist insbesondere die Einsicht, Subtraktionsaufgaben ergänzend lösen zu können, im Verlauf der Grundschulzeit für die Ausbildung halbschriftlicher Rechenstrategien sowie die verständnisbasierte Ausführung der schriftlichen Subtraktion nach dem Ergänzungsverfahren von Bedeutung.

Welche Schwierigkeiten können auftreten?

Darstellungen sind nicht immer eindeutig interpretierbar. Daher brauchen Kinder die Möglichkeit, Abbildungen selbst deuten zu dürfen – es sollte nicht nur eine Deutung als die richtige vorgegeben werden. 

Bildliche Darstellungen zur Subtraktion stellen Kinder vor eine besondere Herausforderung, da in ihnen Anfangszustand (9 Dosen auf dem Tisch), Veränderung (2 fliegen runter) und Endzustand (7 bleiben stehen) in einem Bild festgehalten sind und interpretiert werden müssen. 

So bestimmen Kinder nicht selten die einzelnen Teilmengen (7 links; 2 rechts, die runterfallen) und bilden daraus eine Subtraktionsaufgabe (7–2=5). Diese wird dann im Kopf gelöst, ohne sie auf das Bild zurückzubeziehen, denn die 5 als Ergebnis kann man im Bild nicht sehen. Die Gesamtmenge 9 bleibt unberücksichtigt.

Mit einer entsprechenden Begründung können dennoch oft verschiedene Lösungen der Kinder ihre Berechtigung finden (Gaidoschik 2007, S. 79f.). Wichtig ist das Aushandeln der Passung von Rechenaufgaben zu anderen Darstellungen im Dialog zwischen Lernbegleiter und Kind.

Mit welchen anderen Themen hängt dieses Modul zusammen?

• Addition verstehen (1. Schuljahr)

• Sicher im 1–1 (1. Schuljahr)

Weiterführende Informationen

• primakom: Operationsverständnis – Hintergrund (erklärt am Beispiel der Subtraktion)

ÜBUNGEN

Minus-Duos

Fokus:

Entwickeln von Grundvorstellungen zur Subtraktion, Üben des Darstellungswechsels

So geht es:

Die Übungsreihe 'Minus-Duos' (in Anlehnung an primakom: Minustrios) umfasst fünf Übungen:

In Übung 1 bis 4 wird jeweils eine Darstellungsform in den Fokus gerückt:

• In Übung 1 sollen zu vorgegebenen Alltags-Bildern passende Rechenaufgaben, Rechengeschichten und Handlungen gefunden werden.
• In Übung 2 sollen zu vorgegebenen Rechenaufgaben passende Alltagsbilder, Rechengeschichten und Handlungen gefunden werden.
• In Übung 3 sollen zu vorgegebenen Rechengeschichten passende Alltagsbilder, Rechenaufgaben und Handlungen gefunden werden.
• In Übung 4 sollen zu vorgegebenen Handlungen passende Alltagsbilder, Rechenaufgaben und Rechengeschichten gefunden werden.

Handlungen am Material sollen von den Kindern ausgeführt und von einer mündlichen Beschreibung begleitet werden.
Rechengeschichten sollen ebenfalls mündlich formuliert werden.
Alltags-Bilder und Rechengeschichten hingegen sollen von den Kindern auf vorbereiteten Blanko-Spielkarten schriftlich festgehalten werden. Diese Spielkarten-Paare heißen Minus-Duos.

Um die drei Grundvorstellungen Abziehen, Ergänzen und Vergleichen anzusprechen, sind in jeder Übung drei Aufgaben vorgegeben.
Werden alle vier Übungen bearbeitet, entstehen insgesamt also zwölf Spielkarten-Paare, mit denen anschließend verschiedene Spiele gespielt werden können.
Übung 5 stellt vier gehaltvolle Spielideen vor.

Bearbeiten Sie mit einem Lernenden diese Aufgaben, sollten Sie auf Folgendes achten:

• Das Kind sollte bei Übung 1 bis 4 geeignete Darstellungen finden. Das unten auf dieser Seite zu findende pdf-Dokument ‚Kriterien für gute Darstellungen‘ kann hierbei als Orientierung dienen. Lesen Sie es sich vorab durch oder haben Sie es während der Durchführung bei sich. So lässt sich leichter beurteilen, ob das Kind eine geeignete Darstellung gewählt hat.
• Sie sollten das Kind bei Übung 1 bis 5 immer wieder auffordern zu erklären, warum zwei Darstellungen zueinander passen oder nicht. Denn das sprachliche Reflektieren ist für den Verständnisaufbau von großer Bedeutung. Helfen können dabei Fragen wie:
  • Kannst du mir erklären, was du dir gedacht hast?
  • Warum passen diese beiden Spielkarten/Darstellungen (nicht) zusammen?
  • Wofür stehen diese Plättchen/Holzwürfel/Bonbons/Punkte/Zahlen?
  • Wo siehst du (in dem Bild) die 6, die 4 und die 2? (Bei der Aufgabe 6 – 4 = 2)
• Sie sollten die Übungen (siehe pdf-Dokumente unten) während der Durchführung bei sich haben, so dass Sie dem Kind:
  • bei Übung 1 die vorgegebenen Alltags-Bilder-Spielkarten vorlegen können.
  • bei Übung 2 die vorgegebenen Rechenaufgaben-Spielkarten vorlegen können.
  • bei Übung 3 die vorgegebenen Rechengeschichten vorlesen können. 
  • bei Übung 4 die vorgegebenen Handlungen vormachen und sprachlich beschreiben können.
  • bei Übung 5 die Spiele erklären können.
• Sie sollten ausreichend leere Spielkarten (siehe pdf-Dokument unten) während der Durchführung bei sich haben, denn vielleicht benötigt das Kind auch mal einen zweiten Versuch.
• Sie sollten reale Gegenstände, die in den Alltags-Bildern oder Rechengeschichten vorkommen, während der Durchführung bereithalten. Denn sollte es für das Kind ein zu hoher Anspruch sein, mit Vertretern wie Plättchen oder Holzsteinen eine passende Handlung auszuführen, kann es auf die realen Gegenstände zurückgreifen.

Anmerkung: Auf die didaktisch-bildliche Darstellung der Subtraktion mithilfe des Zwanzigerfeldes wurde in diesen Übungen bewusst verzichtet, da dies insbesondere bei Subtraktionsaufgaben, die die Grundvorstellungen Ergänzen und Vergleichen ansprechen, eine intensivere inhaltliche Auseinandersetzung (z.B. die Verabredung von Konventionen) erfordern würde, die vorzugsweise vom Mathematikunterricht geleistet werden sollte.

Übung 1: Vom Alltagsbild zu...Übung 2: Von der Rechenaufgabe zu...Übung 3: Von der Rechengeschichte zu...Übung 4: Von der Handlung zu...Übung 5: Spielideen für den selbstentwickelten KartensatzKriterien für gute DarstellungenLeere Spielkarten

Weitere Anregungen

• PIK AS: Hamstern – Ein Spiel zur Förderung der Grundvorstellung Vergleichen sowie des Darstellungswechsels (Handlung – Sprache)
• Förderkartei (Schipper, 2005): Übung 7-10: Förderung der Grundvorstellungen Abziehen und Ergänzen sowie des Darstellungswechsels (Handlung– Sprache – Mathesprache)
• Mathe sicher können: Förderbaustein N3: Förderung der Grundvorstellungen Abziehen und Ergänzen sowie des Darstellungswechsels (Handlung – Sprache – Mathesprache – Bild)